题目内容
【题目】已知椭圆经过点
,且离心率为
,过其右焦点F的直线
交椭圆C于M,N两点,交y轴于E点.若
,
.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)试判断是否是定值.若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
为定值,为
.
【解析】
(Ⅰ)根据题意列方程组,解得
,
,则可得到椭圆的标准方程;
(Ⅱ)直线的方程为
,联立
消去y可得
.设
,
,根据韦达定理和已知条件
,
可得
,
,再相加根据韦达定理,变形可得定值.
(1)设椭圆的半焦距为,由题意可得
,
解得,
,
.
所以椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)为定值.
由题意可知,直线的斜率存在,设直线
的斜率为k,
因为直线过点
,所以直线
的方程为
.
令,可得
,即
.
联立消去y可得
.
设,
,易知
,
,则
,
.
,
,
,
.
由,
,可得
,
所以.
将,
代入上式,化简可得
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