题目内容

【题目】已知正数数列{an}的前n项和为Sn,满足.

1)求数列{an}的通项公式;

2)设,若是递增数列,求实数a的取值范围.

【答案】(1)an=n;(2)(-1,+∞).

【解析】

1)由 an2Sn+Sn1n2),可得an12Sn1+Sn2 n3).两式相减可得 anan11,再由a11,可得{an}通项公式.(2)根据{an}通项公式化简bnbn+1,由题意得bn+1bn0恒成立,分离变量即可得a的范围.

解:(1=Sn-1+Sn-2,(n≥3).

相减可得:,∵an0an-10,∴an-an-1=1,(n≥3).

n=2时,=a1+a2+a1,∴=2+a2,a2>0,∴a2=2.因此n=2时,an-an-1=1成立.

∴数列{an}是等差数列,公差为1.∴an=1+n-1=n

2=n-12+an-1),

{bn}是递增数列,∴bn+1-bn=n2+an-n-12-an-1=2n+a-10

a1-2n恒成立,∴a-1

∴实数a的取值范围是(-1,+∞).

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