题目内容
【题目】已知正数数列{an}的前n项和为Sn,满足 ,.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设,若是递增数列,求实数a的取值范围.
【答案】(1)an=n;(2)(-1,+∞).
【解析】
(1)由 an2=Sn+Sn﹣1(n≥2),可得an﹣12=Sn﹣1+Sn﹣2 (n≥3).两式相减可得 an﹣an﹣1=1,再由a1=1,可得{an}通项公式.(2)根据{an}通项公式化简bn和bn+1,由题意得bn+1﹣bn>0恒成立,分离变量即可得a的范围.
解:(1),=Sn-1+Sn-2,(n≥3).
相减可得:,∵an>0,an-1>0,∴an-an-1=1,(n≥3).
n=2时,=a1+a2+a1,∴=2+a2,a2>0,∴a2=2.因此n=2时,an-an-1=1成立.
∴数列{an}是等差数列,公差为1.∴an=1+n-1=n.
(2)=(n-1)2+a(n-1),
∵{bn}是递增数列,∴bn+1-bn=n2+an-(n-1)2-a(n-1)=2n+a-1>0,
即a>1-2n恒成立,∴a>-1.
∴实数a的取值范围是(-1,+∞).
【题目】“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份,我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节,如图是江南镇2009~2018年梅雨季节的降雨量(单位:)的频率分布直方图,试用样本频率估计总体概率,解答下列问题:
“梅实初黄暮雨深”.请用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量;
“江南梅雨无限愁”.镇的杨梅种植户老李也在犯愁,他过去种植的甲品种杨梅,他过去种植的甲品种杨梅,亩产量受降雨量的影响较大(把握超过八成).而乙品种杨梅2009~2018年的亩产量(/亩)与降雨量的发生频数(年)如列联表所示(部分数据缺失).请你帮助老李排解忧愁,他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小?
(完善列联表,并说明理由).
亩产量\降雨量 | 合计 | ||
<600 | 2 | ||
1 | |||
合计 | 10 |
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.703 |
(参考公式:,其中)