Question

【题目】已知， 若函数在上的最大值为，最小值为， 令.

（1）求的表达式;

（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）实数的取值范围为.

【解析】

（1）根据解析式，讨论的取值范围，求出的最值，得出（a）的表达式；

（2）先用定义判断函数（a）在定义域上的单调性，再求出（a）的值域，把方程（a）有解转化为（a）有解，求出的取值范围即可．

(1)1分

∵，∴

①当，即时，则时，函数取得最大值;时，函数取得最小值.

∴，

∴3分

②当，即时，则时，函数取得最大值;时，函数取得最小值.

∴，

∴. 5分

综上，得

（2）任取，且

，

∵，且

，，；

∴，即

∴

∴函数在上单调递减 ，

任取，且

∵，且

，，；

∴，即

∴

∴函数在上单调递增 ，

当时，取得最小值，其值为

又，

∴函数的值域为

∵关于的方程有解等价于有解

∴实数的取值范围为函数的值域，

∴实数的取值范围为.