题目内容
【题目】如图,在中,AB>AC,H为的垂心,M为边BC的中点,点S在边BC上且满足∠BHM=∠CHS,点A在直线HS上的投影为P.证明:的外接圆与的外接圆相切.
【答案】见解析
【解析】
如图,联结AH并延长,与的外接圆交于点D
作,与的外接圆交于点E.
易知,点D、H关于直线BC对称.
故∠HCB=∠BCD=∠CBE.
则.
因此,AE为外接圆的直径.
又由CH=CD=EB,结合知四边形CHBE为平行四边形.
于是,EH过点M.
设B’、C’为点B、C在边AC、AB上的投影.
延长EH,与的外接圆交于点Q.
由∠AQH=∠AQE=90°=∠APH,得A、Q、B’、H、C’、P六点共圆,且该圆以AH为直径.
由
由
结合,有.
则.
从而,Q、S、D三点共线.
由
得P、Q、S、M四点共圆,设此圆为圆T.
过点O作外接圆的切线.
由,知TQ也为圆T的切线.
故的外接圆与的外接圆相切.
【题目】学生学习的自律性很重要.某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研,从该校学生中随机抽取了100名学生,通过调查统计得到列联表的部分数据如下表:
自律性一般 | 自律性强 | 合计 | |
成绩优秀 | 40 | ||
成绩一般 | 20 | ||
合计 | 50 | 100 |
(1)补全列联表中的数据;
(2)判断是否有的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.
参考公式及数据:.
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】一次数学考试后,对高三文理科学生进行抽样调查,调查其对本次考试的结果满意或不满意,现随机抽取名学生的数据如下表所示:
满意 | 不满意 | 总计 | |
文科 | 22 | 18 | 40 |
理科 | 48 | 12 | 60 |
总计 | 70 | 30 | 100 |
(1)根据数据,有多大的把握认为对考试的结果满意与科别有关;
(2)用分层抽样方法在感觉不满意的学生中随机抽取名,理科生应抽取几人;
(3)在(2)抽取的名学生中任取2名,求文科生人数的期望.(其中)
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |