题目内容

【题目】如图,在中,AB>AC,H为的垂心,M为边BC的中点,点S在边BC上且满足∠BHM=∠CHS,点A在直线HS上的投影为P.证明:的外接圆与的外接圆相切.

【答案】见解析

【解析】

如图,联结AH并延长,与的外接圆交于点D

,与的外接圆交于点E.

易知,点D、H关于直线BC对称.

故∠HCB=∠BCD=∠CBE.

.

因此,AE为外接圆的直径.

又由CH=CD=EB,结合知四边形CHBE为平行四边形.

于是,EH过点M.

设B’、C’为点B、C在边AC、AB上的投影.

延长EH,与的外接圆交于点Q.

由∠AQH=∠AQE=90°=∠APH,得A、Q、B’、H、C’、P六点共圆,且该圆以AH为直径.

结合,有.

.

从而,Q、S、D三点共线.

得P、Q、S、M四点共圆,设此圆为圆T.

过点O作外接圆的切线.

,知TQ也为圆T的切线.

的外接圆与的外接圆相切.

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