题目内容
已知动圆与圆相切,且与圆相内切,记圆心的轨迹为曲线;设为曲线上的一个不在轴上的动点,为坐标原点,过点作的平行线交曲线于两个不同的点.
(1)求曲线的方程;
(2)试探究和的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数,若不能,请说明理由;
(3)记的面积为,的面积为,令,求的最大值.
(1)求曲线的方程;
(2)试探究和的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数,若不能,请说明理由;
(3)记的面积为,的面积为,令,求的最大值.
(1)圆心的轨迹:;
(2)和的比值为一个常数,这个常数为;
(3)当时,取最大值.
(2)和的比值为一个常数,这个常数为;
(3)当时,取最大值.
试题解析:(1)设圆心的坐标为,半径为
由于动圆与圆相切,且与圆相内切,所以动
圆与圆只能内切
2分
圆心的轨迹为以为焦点的椭圆,其中,
故圆心的轨迹: 4分
(2)设,直线,则直线
由可得:,
6分
由可得:
8分
和的比值为一个常数,这个常数为 9分
(3),的面积的面积,
到直线的距离
11分
令,则
(当且仅当,即,亦即时取等号)
当时,取最大值 13分
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