题目内容
【题目】定义在上的函数
同时满足以下条件:①
在
上为减函数,
上是增函数;②
是偶函数;③
在
处的切线与直线
垂直.
(1)求函数的解析式;
(2)设,若对
,使
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)根据条件①②③得到关于的方程组,从而解得
的值,得到答案;(2)根据
得到不等式,参变分离得到
,设
,则
,利用导数得到
的最大值,从而得到
的范围.
(1)函数,
则,
因为在
上为减函数,
上是增函数;
则是
的极小值点,
所以,即
因为是偶函数,所以
,
即,
得,
因为在
处的切线与直线
垂直,
所以在
处的切线斜率为
,
即,
所以得到,
所以.
(2),若对
,使
成立
得到对,
恒成立,
即,对
恒成立,
设,则
,
,
设,
则,
,所以
,
所以在
单调递减,即
单调递减,
所以,
所以在
恒小于
,即
在
上单调递减
所以
所以,
故实数的取值范围为
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