题目内容
【题目】已知椭圆C:过点
,且离心率为
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若过原点的直线与椭圆C交于P、Q两点,且在直线
上存在点M,使得
为等边三角形,求直线
的方程。
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)y=0或y=
【解析】
(Ⅰ)列a,b,c的方程组求解即可求得方程;(Ⅱ)当的斜率k=0时符合题意;当
的斜率k
0时,设直线
与椭圆联立,求得P,Q坐标,进而求得
设直线
的中垂线方程:
,求其与
的交点M,由
为等边三角形,得到
解方程求得k值即可
(Ⅰ)由题解得a=
,b=
,c=
,
椭圆C的方程为
(Ⅱ)由题,当的斜率k=0时,此时PQ=4
直线
与y轴的交点(0,
满足题意;
当的斜率k
0时,设直线
与椭圆联立
得
=8,
,设P(
),则Q(
),
,又PQ的垂直平分线方程为
由
,解得
,
,
, ∵
为等边三角形
即
解得k=0(舍去),k=
,
直线
的方程为y=
综上可知,直线的方程为y=0或y=
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