Question

11．若f（x）=x²+bx+c，且f（-1）=0，f（3）=0．
（1）求b与c的值．
（2）证明函数f（x）在区间（-∞，1）上是减函数．

Answer 1

分析 （1）由f（-1）=0和f（3）=0便可得到关于b，c的二元一次方程组，解方程组便可得到b，c的值；
（2）根据单调性的定义，设任意的x₁＜x₂＜1，然后作差，提取公因式x₁-x₂，从而证明f（x₁）＞f（x₂），这样便可得出f（x）在（-∞，1）上是减函数．

解答 解：（1）根据条件得：
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$；
∴b=-2，c=-3；
（2）证明：f（x）=x²-2x-3；
设x₁＜x₂＜1，则：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}-{{x}_{2}}^{2}+2{x}_{2}$=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）；
∵x₁＜x₂＜1；
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂-2＜0；
∴（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，1）上是减函数．

点评 考查已知函数求值的方法，减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差比较f（x₁），f（x₂）的方法，作差后一般要提取公因式x₁-x₂．