题目内容
2.已知函数f(x)=|$\frac{1-x}{x}$|,x∈(0,+∞).(1)作出函数f(x)的图象;
(2)写出函数f(x)的单调递减区间;
(3)已知0<m<n且f(m)=f(n),试探索$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
分析 (1)化简f(x)=|$\frac{1-x}{x}$|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-x}{x},0<x≤1}\\{\frac{x-1}{x},x>1}\end{array}\right.$,从而作出图象;
(2)由图象写出函数f(x)的单调递减区间即可;
(3)结合(2)知,f(m)=$\frac{1-m}{m}$=f(n)=$\frac{n-1}{n}$,从而解得.
解答 解:(1)f(x)=|$\frac{1-x}{x}$|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-x}{x},0<x≤1}\\{\frac{x-1}{x},x>1}\end{array}\right.$,
作函数f(x)的图象如下,
(2)函数f(x)的单调递减区间为(0,1);
(3)结合(2)知,若0<m<n且f(m)=f(n),
则f(m)=$\frac{1-m}{m}$=f(n)=$\frac{n-1}{n}$,
即$\frac{1}{m}$-1=1-$\frac{1}{n}$,
故$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=2.
故$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值是定值2.
点评 本题考查了绝对值函数的应用与分段函数的应用,同时考查了数形结合的思想应用.
练习册系列答案
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