题目内容

3.已知函数y=($\frac{1}{2}$)x2-4x+1,求函数的单调区间及值域.

分析 原函数是内函数t=x2-4x+1与外函数g(t)=$(\frac{1}{2})^{t}$的复合函数,求出内函数的单调区间,然后利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间,再利用配方法求出t的范围,代入外函数可得原函数的值域.

解答 解:令t=x2-4x+1,
则原函数化为g(t)=$(\frac{1}{2})^{t}$,
内函数t=x2-4x+1的减区间(-∞,2],增区间为(2,+∞),
而外函数g(t)=$(\frac{1}{2})^{t}$为减函数,
∴原复合函数的增区间为(-∞,2],减区间为(2,+∞);
又t=x2-4x+1=(x-2)2-3≥-3,
∴g(t)=$(\frac{1}{2})^{t}$∈(0,$(\frac{1}{2})^{-3}$]=(0,8].
∴函数y=($\frac{1}{2}$)x2-4x+1的值域为(0,8].

点评 本题考查复合函数的单调性,复合的两个函数同增则增,同减则减,一增一减则减,注意函数的定义域是求解的前提,考查学生发现问题解决问题的能力,是中档题.

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