Question

6．已知x≠0且x≠1，y≠0且y≠1，则（x+$\frac{1}{y}$）+（x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$）+…+（xⁿ+$\frac{1}{{y}^{n}}$）的值为$\frac{{x}^{n+1}-x}{x-1}$+$\frac{1-\frac{1}{{y}^{n}}}{y-1}$．

Answer 1

分析 分组利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵x≠0且x≠1，y≠0且y≠1，
则（x+$\frac{1}{y}$）+（x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$）+…+（xⁿ+$\frac{1}{{y}^{n}}$）
=（x+x²+…+xⁿ）+（$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$+…+$\frac{1}{{y}^{n}}$）
=$\frac{x（{x}^{n}-1）}{x-1}$+$\frac{\frac{1}{y}（1-\frac{1}{{y}^{n}}）}{1-\frac{1}{y}}$
=$\frac{{x}^{n+1}-x}{x-1}$+$\frac{1-\frac{1}{{y}^{n}}}{y-1}$．
故答案为：$\frac{{x}^{n+1}-x}{x-1}$+$\frac{1-\frac{1}{{y}^{n}}}{y-1}$．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．