题目内容
设椭圆
(a>b>0)的左顶点为A,若椭圆上存在一点P,使∠OPA=
(O为原点),求椭圆离心率的取值范围.
(a>b>0)的左顶点为A,若椭圆上存在一点P,使∠OPA= (O为原点),求椭圆离心率的取值范围.椭圆离心率的范围是(
,1).
,1).如图,设P(x,y),由∠OPA=知点P在以AO为直径的圆上,
即
.
联立方程组
消去y,得
(a2-b2)x2+a3x+a2b2=0.
解之,得x=-a或
.
当x=-a时,P与A重合,不满足题意,舍去.
故P点的横坐标为.
又∵
,∴a2>2b2,即a2>2(a2-c2).
∴
,
.
又∵0<e<1,
∴
1,即椭圆离心率的范围是(,1).
知点P在以AO为直径的圆上,即
.联立方程组
消去y,得(a2-b2)x2+a3x+a2b2=0.
解之,得x=-a或
.当x=-a时,P与A重合,不满足题意,舍去.
故P点的横坐标为
.又∵
,∴a2>2b2,即a2>2(a2-c2).∴
,.又∵0<e<1,
∴
1,即椭圆离心率的范围是(,1).
练习册系列答案
相关题目
的焦点坐
标为
（
），点M（
，
）在椭圆E上
（1）求椭圆E的方程；（2）O为坐标原点，⊙
的任意一条切线与椭圆E有两个交点
，
且
，求⊙
（－4，0）、F
（4，0），并且椭圆和长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线交点的轨迹方程。
≈1.7,
≈1.4)( )
和圆
，它们在
轴上方的交点为
，那么当
为何值时，线段
的中点
在直线
上？
是椭圆的两个焦点，
为椭圆上一点，
．
的面积只与椭圆的短轴长有关．