Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．

（1）求证：平面PAB∥平面EFG；
（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明；
（3）求出D到平面EFG的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：E，G分别是PC，BC的中点得EG∥PB

∴EG∥平面PAB

又E，F分别是PC，PD的中点，

∴EF∥CD，又AB∥CD

∴EF∥AB

∵EFp平面PAB，AB平面PAB

∴EF∥平面PAB

又∵EG，EF平面EFG，EG∩EF=E

∴平面PAB∥平面EFG

（2）证明：Q为PB的中点，连QE，DE，又E是PC的中点，

∴QE∥BC，又BC∥AD∴QE∥AD

∴平面ADQ即平面ADEQ∴PD⊥DC，又PD=AB=2，ABCD是正方形，

∴等腰直角三角形PDC

由E为PC的中点知DE⊥PC

∵PD⊥平面ABCD

∴PD⊥AD又AD⊥DC

∴AD⊥面PDC

∴AD⊥PC，且AD∩DE=D

∴PC⊥平面ADEQ，即证PC⊥平面ADQ

（3）解：连DG，取AD中点H，连HG，HF，设点D到平面EFG的距离为h．H，G为AD，BC中点可知HG∥DC，又EF∥DC

∴HG∥EF

∴G到EF的距离即H到EF的距离

∵PD⊥DC，AD⊥DC

∴DC⊥面PAD，又EF∥DC

∴EF⊥面PAD

∴EF⊥HF

∴HF为G到EF的距离，由题意可知EF=1，HF= ， =

∵AD⊥面PDC，GC∥AD

∴GC⊥面PDC

∴G到面EFD的距离为CG=1

又可知EF=DF=1，

∴

【解析】（1）由已知可得EG∥PB，从而可证EG∥平面PAB，则只要再证明EF∥平面PAB，即证EF∥AB，结合已知容易证，根据平面与平面平行的判定定理可得（2）若使得PC⊥平面ADQ，即证明PC⊥平面ADE，当Q为PB的中点时，PC⊥Ae，AD⊥PC即可（3）结合已知可考虑利用换顶点VD﹣EFG=VG﹣EFD ， 结合已知可求