Question

【题目】已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率等于 ，且过点（1， ）． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若 =λ1 ， =λ2 ，求证：λ1+λ2为定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C的焦点在x轴上，∴设椭圆C的方程为 =1（a＞b＞0）， ∵离心率等于 ，且过点（1， ），
∴ ，解得 ，
∴椭圆C的标准方程为 ．
证明：（Ⅱ）设点A，B，M的坐标分别为A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（0，y0），
又由题意知F点的坐标为F（2，0），直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程是y=k（x﹣2），
联立 ，消去y并整理得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，
∴ ， ，
又∵ ， = ，
将各点坐标代入得 ， ，
∴
=
= =﹣10
【解析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为 =1（a＞b＞0），由离心率等于 ，且过点（1， ），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设直线l的方程是y=k（x﹣2），与椭圆联立，得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，由此利用韦达定理、向量相等，结合已知条件能证明λ1+λ2为定值．