Question

8．已知数列{a_n}中，a₂=1，前n项和为S_n，且2S_n=n（a_n-a₁）．
（1）求a₁；
（2）求证：数列{a_n}为等差数列，并求其通项公式；
（3）若b_n=$\frac{{a}_{n+3}}{{a}_{n+1}{a}_{n+2}{2}^{{a}_{n+1}}}$，且b₁+b₂+…+b_n-1≤1-（k+1）b_n对一切正整数n恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）令n=1，由a₁=S₁，即可得到；
（2）将n换为n-1，相减可得a_n=$\frac{n-1}{n-2}$a_n-1，再由累乘法，即可得到所求；
（3）求得b_n=$\frac{{a}_{n+3}}{{a}_{n+1}{a}_{n+2}{2}^{{a}_{n+1}}}$=$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n}}$=$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$，再由裂项相消求和，化简整理，可得k≤$\frac{n}{n+2}$恒成立，求得右边的最小值，即可得到k的最大值．

解答 解：（1）令n=1，即有2S₁=a₁-a₁=0，
则a₁=0；
（2）证明：2S_n=na_n，
可得2S_n-1=（n-1）a_n-1，
相减可得2a_n=na_n-（n-1）a_n-1，
即有a_n=$\frac{n-1}{n-2}$a_n-1，
即有a_n=a₃•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$•$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=2•$\frac{3}{2}$•$\frac{4}{3}$…$\frac{n-1}{n-2}$=n-1，
上式对n=1，2也成立，
故数列{a_n}为首项为0，公差为1的等差数列，
且a_n=n-1；
（3）b_n=$\frac{{a}_{n+3}}{{a}_{n+1}{a}_{n+2}{2}^{{a}_{n+1}}}$=$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n}}$=$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$，
即有b₁+b₂+…+b_n-1=1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{12}$-$\frac{1}{32}$+…+$\frac{1}{（n-1）•{2}^{n-2}}$-$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$=1-$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$，
b₁+b₂+…+b_n-1≤1-（k+1）b_n对一切正整数n恒成立，
即为k+1≤$\frac{1}{n•{2}^{n-1}•{b}_{n}}$=$\frac{2（n+1）}{n+2}$，即有k≤$\frac{n}{n+2}$恒成立，
由$\frac{n}{n+2}$=1-$\frac{2}{n+2}$为递增数列，即有n=1时取得最小值，且为$\frac{1}{3}$，
即有k≤$\frac{1}{3}$．则k的最大值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，考查累加法求数列的通项，以及裂项相消求和的方法，考查不等式的性质，属于中档题．