Question

16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2$\sqrt{2}$sinAsinC+cos2B=1．
（1）若a=$\sqrt{2}$，b=2，求c；
（2）若$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$＞4sin（A+C），求cosB的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由二倍角的余弦函数公式化简已知可得2$\sqrt{2}$sinAsinC+1-2sin²B=1，结合正弦定理可得$\sqrt{2}$ac=b²，代入即可求c的值．
（2）由$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ac}$＞4sin（A+C），利用余弦定理及已知可得（5$\sqrt{2}$cosB+7）（$\sqrt{2}$cosB-1）＞0，
结合范围-1＜cosB＜1，即可求得cosB的求值范围．

解答 解：（1）∵2$\sqrt{2}$sinAsinC+cos2B=1．
⇒2$\sqrt{2}$sinAsinC+1-2sin²B=1
⇒$\sqrt{2}$ac=b²，
又∵a=$\sqrt{2}$，b=2，
∴c=$\frac{{b}^{2}}{\sqrt{2}a}$=$\frac{4}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=2．
（2）∵$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ac}$＞4sin（A+C）=4sinB，
∴a²+c²＞4acsinB，
又∵a²+c²=b²+2accosB，由（1）可知$\sqrt{2}$ac=b²，
∴b²+2accosB＞4acsinB，$\sqrt{2}$ac+2accosB＞4acsinB，
∴0＜2$\sqrt{2}$sinB＜1+$\sqrt{2}$cosB，
∴8sin²B=8（1-cos²B）＜1+2cos²B+2$\sqrt{2}$cosB，
∴10cos²B+2$\sqrt{2}$cosB-7＞0，即（5$\sqrt{2}$cosB+7）（$\sqrt{2}$cosB-1）＞0，
又∵-1＜cosB＜1，
∴-1＜cosB＜-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosB＜1．

点评 本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，正弦定理，基本不等式的应用，考查了正弦函数，余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．