题目内容
【题目】如图，点
为圆
：
上一动点，过点分别作
轴，
轴的垂线，垂足分别为
，
，连接
延长至点
，使得
，点的轨迹记为曲线
.
（1）求曲线的方程；
（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线
与曲线相交于
，
两点，试问在曲线上是否存在点
，使得四边形
为平行四边形，若存在，求出直线
方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）这样的直线不存在.详见解析
【解析】
（1）设
，
，则
，
，且
，通过
，转化求解即可．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知直线
的斜率存在且不为零，设直线的方程为
，代入椭圆方程整理得关于x的一元二次方程，假设存在点Q，满足题意，则其充要条件为
，则点Q的坐标为（x1+x2，y1+y2）．由此利用韦达定理结合点Q在曲线
上，得到关于k的方程求解即可．
（1）设，，
则，，
由题意知，所以
为
中点，
由中点坐标公式得
，
即
，
又点
在圆
：
上，故满足
，
得.
（2）由题意知直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，
因为
，故
，即
①，
联立
，
消去
得：
，
设
，
，
，
，
，
因为
为平行四边形，故
，
点
在椭圆上，故
，整理得
，②，
将①代入②，得
，该方程无解，
故这样的直线不存在.
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