题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,动圆与圆外切,与圆内切.

1)求动圆圆心的轨迹方程;

2)直线过点且与动圆圆心的轨迹交于两点.是否存在面积的最大值,若存在,求出的面积;若不存在,说明理由.

【答案】1;(2)存在,面积的最大值为,理由见解析.

【解析】

1)设动圆的半径为,利用几何关系转化两圆内切和外切的问题,可得出,可得知点的轨迹是以点为焦点的椭圆,并设该椭圆的方程为,利用椭圆的定义求出的值,可求出的值,由此可得出动点的轨迹方程;

2)设直线的方程为,设点,将直线的方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,并计算出的面积关于的表达式,换元,利用双勾函数的单调性可得出面积的最大值.

1)设点,动圆的半径为

由题意知,

由椭圆定义可知,动圆圆心在以为焦点的椭圆上,

设该椭圆的方程为,且.

由于圆内切于圆于点,则.

因此,动圆圆心的轨迹方程为

2)存在面积的最大值.

因为直线过点,可设直线的方程为(舍).

,整理得

设点,则.

因为

,则,则.

在区间上为增函数,所以

所以,当且仅当时取等号,即

因此,面积的最大值为

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