题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,动圆
与圆
外切,与圆
内切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)直线过点
且与动圆圆心
的轨迹交于
、
两点.是否存在
面积的最大值,若存在,求出
的面积;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在,
面积的最大值为
,理由见解析.
【解析】
(1)设动圆的半径为
,利用几何关系转化两圆内切和外切的问题,可得出
,可得知点
的轨迹是以点
、
为焦点的椭圆,并设该椭圆的方程为
,利用椭圆的定义求出
的值,可求出
的值,由此可得出动点
的轨迹方程;
(2)设直线的方程为
,设点
、
,将直线
的方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,并计算出
的面积关于
的表达式,换元
,利用双勾函数的单调性可得出
面积的最大值.
(1)设点,动圆
的半径为
,
由题意知,,
,
由椭圆定义可知,动圆圆心在以
、
为焦点的椭圆上,
设该椭圆的方程为,且
,
,
.
由于圆内切于圆
于点
,则
.
因此,动圆圆心的轨迹方程为
;
(2)存在面积的最大值.
因为直线过点
,可设直线
的方程为
或
(舍).
则,整理得
.
由.
设点、
,则
,
.
则,
因为.
设,则
,则
.
设在区间
上为增函数,所以
.
所以,当且仅当
时取等号,即
.
因此,面积的最大值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】近年来,随着我国汽车消费水平的提高,二手车流通行业得到迅猛发展.某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计,得到频率分布直方图如图1.
图1 图2
(1)记“在年成交的二手车中随机选取一辆,该车的使用年限在
”为事件
,试估计
的概率;
(2)根据该汽车交易市场的历史资料,得到散点图如图2,其中(单位:年)表示二手车的使用时间,
(单位:万元)表示相应的二手车的平均交易价格.由散点图看出,可采用
作为二手车平均交易价格
关于其使用年限
的回归方程,相关数据如下表(表中
,
):
5.5 | 8.7 | 1.9 | 301.4 | 79.75 | 385 |
①根据回归方程类型及表中数据,建立关于
的回归方程;
②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的佣金,对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格
的佣金.在图1对使用时间的分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值.若以2017年的数据作为决策依据,计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金.
附注:①对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
;
②参考数据:.
【题目】某水果种植基地引进一种新水果品种,经研究发现该水果每株的产量(单位:
)和与它“相近”的株数
具有线性相关关系(两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过
),并分别记录了相近株数为0,1,2,3,4时每株产量的相关数据如下:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
15 | 12 | 11 | 9 | 8 |
(1)求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数
的回归方程;
(2)有一种植户准备种植该种水果500株,且每株与它“相近”的株数都为,计划收获后能全部售出,价格为10元
,如果收入(收入=产量×价格)不低于25000元,则
的最大值是多少?
(3)该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点(直线的交点)处都种了一株该种水果,其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为,已知该梯形地块周边无其他树木影响,若从所种的该水果中随机选取一株,试根据(1)中的回归方程,预测它的产量的分布列与数学期望.
附:回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
.