题目内容
【题目】已知为坐标原点,椭圆
:
的左、右焦点分别为
,
.过焦点且垂直于
轴的直线与椭圆
相交所得的弦长为3,直线
与椭圆
相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在直线:
与椭圆
相交于
两点,使得
?若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由!
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(1)由题意列出关于a,b的关系式,解得a,b即可.
(2)将直线与椭圆联立,将向量数量积的运算用坐标形式表示,利用根与系数之间的关系确定k的取值范围.
(1)在中,令
,得
,解得
.
由垂径长(即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆相交所得的弦长)为3,
得,
所以.①
因为直线:
与椭圆
相切,则
.②
将②代入①,得.
故椭圆的标准方程为
.
(2)设点,
.
由(1)知,则直线
的方程为
.
联立得
,
则恒成立.
所以,
,
.
因为,
所以.即
.
即
,
得,得
,
即,
解得;
∴直线存在,且
的取值范围是
.
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