题目内容
【题目】已知在四棱锥
中，
平面
，
，
是边长为2的等边三角形，
，
为
的中点．
（1）求证：
；
（2）若直线
与平面所成角的正切值为2，求二面角
的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）由等腰三角形和线面垂直的性质可得
，
，由线面垂直的判定即可证明
平面
，再由线面垂直的性质即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
的一个法向量为
，平面
的一个法向量为
，利用
即可得解.
（1）证明：
为等边三角形，
为
的中点，
，
又
平面
，
平面，，
，
，
平面，平面，
又
平面，
.
（2）过点作
，易知
、
、
两两垂直；
以为原点，分别以、、作为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，如图；
平面，
直线
与平面所成角，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面的一个法向量为
，
则
即
，令
，则
，
设平面的一个法向量为
，
则
即
，令
，则
，
，
二面角
的大小为.
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