题目内容
【题目】已知在四棱锥中,
平面
,
,
是边长为2的等边三角形,
,
为
的中点.
(1)求证:;
(2)若直线与平面
所成角的正切值为2,求二面角
的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)由等腰三角形和线面垂直的性质可得,
,由线面垂直的判定即可证明
平面
,再由线面垂直的性质即可得证;
(2)建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量为
,平面
的一个法向量为
,利用
即可得解.
(1)证明:为等边三角形,
为
的中点,
,
又平面
,
平面
,
,
,
,
平面
,
平面
,
又平面
,
.
(2)过点作
,易知
、
、
两两垂直;
以为原点,分别以
、
、
作为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系,如图;
平面
,
直线
与平面
所成角,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
设平面的一个法向量为
,
则即
,令
,则
,
设平面的一个法向量为
,
则即
,令
,则
,
,
二面角
的大小为
.
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