题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)若函数,求
的单调区间;并证明:当
时,
;
(3)证明:当时,函数
有最小值,设
最小值为
,求函数
的值域.
【答案】(1);(2)
的单调递增区间为
,
;证明见解析;(3)证明见解析;
.
【解析】
(1)由导数的几何意义可得切线斜率为1,利用点斜式即可得解;
(2)由题意,求导后可得
,即可得
的单调区间;由
时,
即
,即可得证;
(3)求出函数的导数,令
,由(2)知
的单调性,可得存在唯一实数
使得
,则
,令
,求导后即可得解.
(1),
,
,
故所求直线方程为即
;
(2)由题意,
则,
的单调递增区间为
,
;
当
时,
即
,
由可得
即
,
,得证.
(3)由题意,
则,
设,
由(2)知,在
上单调递增,
又,
,
存在唯一实数
使得
,
当
时,
,
,函数
单调递减;
当时,
,
,函数
单调递增;
在
上有最小值
即
,
又即
,
,
令,
则,函数
在
上单调递增,
即
,
函数
的值域为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目