Question

【题目】若无穷数列满足：是正实数，当时，，则称是“-数列”.已知数列是“-数列”.

（Ⅰ）若，写出的所有可能值；

（Ⅱ）证明：是等差数列当且仅当单调递减；

（Ⅲ）若存在正整数，对任意正整数，都有，证明：是数列的最大项.

Answer 1

【答案】（1）-2，0，2，8.（2）见解析（3）见解析

【解析】分析：（Ⅰ）利用递推关系，根据分类讨论思想求解即可；（Ⅱ）当是等差数列时，利用反证法可证明单调递减，若单调递减，当单调递减时，对任意，.又，所以，从而是等差数列；（Ⅲ）利用反证法：假设不是数列的最大项，设是使得的最小正整数，可得是的倍数，但，故不是的倍数，相矛盾，从而可得结论.

详解：（Ⅰ） -2，0，2，8.

（Ⅱ）证明：因为，所以或.

当是等差数列时，假设，则.此时，，而，矛盾！所以.于是公差，所以单调递减.

当单调递减时，对任意，.又，所以，从而是等差数列.

（Ⅲ）证明：假设不是数列的最大项，设是使得的最小正整数，则

，

因此，是的倍数.

假设，，…，都是的倍数，则

，

因此，也是的倍数.

由第二数学归纳法可知，对任意，都是的倍数.

又存在正整数，对任意正整数，都有，

所以，存在正整数，，因而是的倍数.

但，故不是的倍数，矛盾！

所以，是数列的最大项.