Question

（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，N为圆C：上的一动点，点D（1,0），点M是DN的中点，点P在线段CN上，且.
（Ⅰ）求动点P表示的曲线E的方程；
（Ⅱ）若曲线E与x轴的交点为，当动点P与A，B不重合时，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；

Answer 1

（Ⅰ）解：由点M是DN的中点，又，可知PM垂直平分DN.所以，又，所以.
由椭圆定义知，点P的轨迹是以C，D为焦点的椭圆. ----------------------4分
设椭圆方程为.
又可得
所以动点P表示的曲线E的方程为. ----------------------8分
（Ⅱ）证明：
易知A（-2,0），B（2,0）. 设，则，即，
则，，                        ----------------------10分
即，                 
∴为定值．       -----------------------------------14分
 

略