题目内容
（本题满分14分）
设函数
，
。
（1）若
，过两点
和
的中点作
轴的垂线交曲线
于点
，求证：曲线在点
处的切线
过点
；
（2）若
，当
时
恒成立，求实数
的取值范围。
设函数
，。（1）若
，过两点和的中点作轴的垂线交曲线于点，求证：曲线在点处的切线过点；（2）若
，当时恒成立，求实数的取值范围。（2）
解：（1）由已知得
，
，
即
， ………… 1分。
由
，得
，
曲线在点处的切线的斜率
，
方程为
， ………… 4分
当
时，
，故
，
所以点在切线上，即曲线在点处的切线过点。…… 6分
（2）当
时，
，
，
由
，即
，解得
，或
。
，故
………… 7分
当
，即
时，在
上
，
单调递增，
故在
上单调递增，所以当
时，取得最大值
依题意得
，解得
，此时
；………… 9分
当
，即
时，
，在
上，单调递增；
在
上
，单调递减，所以当
时，取得极大值，也是最大值，最大值为
，
依题意得
，解得
，此时
。 ………… 13分
综上所述得实数的取值范围为。 ………… 14分
，，即
， ………… 1分。由
，得，曲线在点处的切线的斜率，方程为
， ………… 4分当
时，，故，所以点
在切线上，即曲线在点处的切线过点。…… 6分（2）当
时，，，由
，即，解得，或。 ，故 ………… 7分当
，即时，在上，单调递增，故
在上单调递增，所以当时，取得最大值依题意得
，解得，此时；………… 9分当
，即时，，在上，单调递增；在
上，单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，最大值为，依题意得
，解得，此时。 ………… 13分综上所述得实数
的取值范围为。 ………… 14分
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为实数，函数
的导函数。(1)若
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在
处取得极值。
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的方程
在
上恰有两个不相等的实数根，求实数
的取值范围；（3）证明：
。参考数据：
。
，若
，则
（ ）
在点
处的切线为
，则
，若，
,则
。