题目内容
【题目】已知函数,下列命题:
①为偶函数;②
的最大值为2;
③在
内的零点个数为18;
④的任何一个极大值都大于1.
其中所有正确命题的序号是_____.
【答案】①②④
【解析】
由于函数,根据奇偶性的定义和图象与性质,分析函数的奇偶性、最值、对称性和极值,从而可判断命题的真假.
解:对于①,函数,定义域为
,且满足
,
所以函数为偶函数,故①正确;
对于②,因为,
,所以
,
又因为,即当
时,
取得最大值为2,故②正确;
对于③,的图象如图所示,可知在
内有10个零点,
由①可知为偶函数,其零点关于原点对称,
所以在
内的零点个数为20,所以③错误;
对于④,由于是偶函数,则只需考虑
的情况,
此时,则
,
由和
的图象可知,
在每一个区间上,
时,有2个解
,
且当时,
,则
单调递增,
当时,
,则
单调递减,
而,所以
得极大值为
,
所以的任何一个极大值都大于1,故④正确.
综上知,正确的命题序号是①②④.
故答案为:①②④.
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