题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M为椭圆上第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值．
【答案】（Ⅰ）
；（2）见解析.
【解析】
(1)根据题目所给的条件得到
解出参数值即可；（2）
分别设出直线AM和BM求出点B，D的坐标，并表示出AC，BD的长度，代入面积公式化简即可.
（Ⅰ）由已知可得：解得：
；
所以椭圆C的方程为：．
（Ⅱ）因为椭圆C的方程为：，所以
，
．
设
，则
，即
．
则直线BM的方程为：
，令
，得
；
同理：直线AM的方程为：
，令
，得
．
所以
．
即四边形ABCD的面积为定值2．
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