题目内容
【题目】已知函数,
.
若
是函数
的极值点,求曲线
在点
处的切线方程;
若函数
在区间
上为单调递减函数,求实数a的取值范围;
设m,n为正实数,且
,求证:
.
【答案】(1);(2)
;(3)见解析
【解析】
求出导函数,得到函数
的极值点,解得
,求出切线的斜率为
,切点为
,然后利用点斜式求解切线方程;
由
知
,利用函数
在区间
上为单调递减函数,得到
在区间
上恒成立,推出
,设
,
,
,利用基本不等式
,再求出函数的最大值,可得实数
的取值范围;
利用分析法证明,要证
,只需证
,设
,
,利用导数研究函数的单调性,可得
,从而可得结论.
,
.
是函数
的极值点,
,解得
,
经检验,当时,
是函数
的极小值点,符合题意
此时切线的斜率为,切点为
,
则所求切线的方程为
由
知
因为函数在区间
上为单调递减函数,
所以不等式在区间
上恒成立
即在区间
上恒成立,
当时,由
可得
,
设,
,
,
当且仅当时,即
时,
,
又因为函数在区间
上为单调递减,在区间
上为单调递增,
且,
,
所以当时,
恒成立,
即,也即
则所求实数a的取值范围是
,n为正实数,且
,
要证
,只需证
即证只需证
设,
,
则在
上恒成立,
即函数在
上是单调递增,
又,
,即
成立,
也即成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】甲、乙两台机床同时生产一种零件,其质量按测试指标划分:指标大于或等于100为优品,大于等于90且小于100为合格品,小于90为次品,现随机抽取这两台机床生产的零件各100件进行检测,检测结果统计如下:
测试指标 | [85,90) | [90,95) | [95,100) | [100,105) | [105,110) |
甲机床 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
乙机床 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
(1)试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率;
(2)甲机床生产1件零件,若是优品可盈利160元,合格品可盈利100元,次品则亏损20元,假设甲机床某天生产50件零件,请估计甲机床该天的利润(单位:元);
(3)从甲、乙机床生产的零件指标在[90,95)内的零件中,采用分层抽样的方法抽取5件,从这5件中任意抽取2件进行质量分析,求这2件都是乙机床生产的概率.