Question

【题目】设函数，.

（1）判断函数：在的单调性；

（2）对于区间上的任意不相等实数、，都有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）对函数求导，解方程得正根，然后对与区间的位置关系进行分类讨论，分析导数的符号，可得出函数在区间上的单调性；

（2）设，由函数、的单调性将化为，然后构造函数，得出该函数在上单调递减，转化为在上恒成立，利用参变量分离法得，并求出在上的最小值可得出实数的取值范围.

（1），，

令，得（舍负）.

①当即时，，

所以在区间上的单调递增；

②当即时，，

.

所以在区间内单调递减，在区间内单调递增.

综上得：①当时，在区间上的单调递增；

②当时，在内单调递减，在内单调递增；

（2）不妨设，当时，，，

可化为，

，

设，则.

在上单调递减，恒成立，

即在上恒成立，

，函数在区间上单调递增，

则，，因此，实数的取值范围是.