题目内容
【题目】设函数,
.
(1)判断函数:在
的单调性;
(2)对于区间上的任意不相等实数
、
,都有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)对函数求导,解方程
得正根
,然后对
与区间
的位置关系进行分类讨论,分析导数的符号,可得出函数
在区间
上的单调性;
(2)设,由函数
、
的单调性将
化为
,然后构造函数
,得出该函数在
上单调递减,转化为
在
上恒成立,利用参变量分离法得
,并求出
在
上的最小值可得出实数
的取值范围.
(1),
,
令,得
(舍负).
①当即
时,
,
所以在区间
上的单调递增;
②当即
时,
,
.
所以在区间
内单调递减,在区间
内单调递增.
综上得:①当时,
在区间
上的单调递增;
②当时,
在
内单调递减,在
内单调递增;
(2)不妨设,当
时,
,
,
可化为
,
,
设,则
.
在
上单调递减,
恒成立,
即在
上恒成立,
,函数
在区间
上单调递增,
则,
,因此,实数
的取值范围是
.
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