Question

【题目】对于任意，若数列满足，则称这个数列为“K数列”.

（1）已知数列：，，是“K数列”，求实数的取值范围；

（2）设等差数列的前项和为，当首项与公差满足什么条件时，数列是“K数列”？

（3）设数列的前项和为，，且，. 设，是否存在实数，使得数列为“K数列”. 若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)或；(2)答案见解析；(3)答案见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据“数列”的定义可得，解不等式组即可求得实数的取值范围；（2）由数列是“数列”可得，则，即对恒成立，即可得到；（3）由推出，即可得数列是等比数列，从而可得数列的通项公式，由根据为“数列”列出不等式，再对为偶数或奇数进行讨论，从而可得实数的取值范围.

试题解析：（1）由题意可得.

（2），

数列是“K数列”；

∴对恒成立

∴且

（3）∵

∴

∴

∵也成立

∴

∴

∴数列是公比为的等比数列

∵

∴

∴

由题意得：，即.

当为偶数时，恒成立，；

当为奇数时，恒成立，.

综上，.