题目内容
【题目】已知函数f(x)对任意实数x,y均有f(x)=f( )+f( ).当x>0时,f(x)>0
(1)判断函数f(x)在R上的单调性并证明;
(2)设函数g(x)与函数f(x)的奇偶性相同,当x≥0时,g(x)=|x﹣m|﹣m(m>0),若对任意x∈R,不等式g(x﹣1)≤g(x)恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:由题意:函数f(x)对任意实数x,y均有f(x)=f( )+f( ),令x=y=0,可得f(0)=0.设x1>x2,令x=x1,y=x2,
则 ,
可得:则 ,即 >0.
∴函数f(x)在R上是单调增函数.
(2)解:令x=0,y=2x,
可得:f(0)=0=f(x)+f(﹣x),即f(﹣x)=﹣f(x).
∴f(x)是奇函数,故得g(x)也是奇函数.
当x≥0时,g(x)=|x﹣m|﹣m(m>0),
即g(x)=
当x<0时,g(x)的最大值为m.
对任意x∈R,不等式g(x﹣1)≤g(x)恒成立,
只需要:1≥3m﹣(﹣2m),
解得: .
∵m>0
故得实数m的取值范围是(0, ].
【解析】(1)函数f(x)对任意实数x,y均有f(x)=f( )+f( ),令x=y=0,可得f(0)=0.设x1>x2,令x=x1,y=x2,带入f(x)=f( )+f( ).利用x>0时,f(x)>0,可判断单调性.(2)求解f(x)的奇偶性,可得g(x)的奇偶性,x≥0时,g(x)=|x﹣m|﹣m(m>0),利用奇偶性求g(x)的解析式,判断单调性,从而求解不等式g(x﹣1)≤g(x)恒成立时实数m的取值范围.
【考点精析】关于本题考查的函数的奇偶性,需要了解偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称才能得出正确答案.
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