题目内容
【题目】若函数f(x)满足对任意的两个不相等的正数x1 , x2 , 下列三个式子:f(x1﹣x2)+f(x2﹣x1)=0,(x1﹣x2)(f(x1)﹣f(x2))<0,f( )>
都恒成立,则f(x)可能是( )
A.f(x)=
B.f(x)=﹣x2
C.f(x)=﹣tanx
D.f(x)=|sinx|
【答案】A
【解析】解:∵函数f(x)满足对任意的两个不相等的正数x1,x2,
f(x1﹣x2)+f(x2﹣x1)=0,(x1﹣x2)(f(x1)﹣f(x2))<0,
∴f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数,
∴选项B和选项D不成立,
∵f( )>
,
在A中,f(x)= ,
f( )=
,
=
=
,
∵(x1+x2)2= >4x1x2,
∴f( )>
,故A成立;
在C中,f(x)=﹣tanx,
f( )=﹣tan
,
=
=﹣
(tanx1+tanx2),
取 ,x2=
,得f(
)=f(
)=﹣tan
=﹣1,
=
=﹣
(tanx1+tanx2)=﹣1,
此时,f( )=
,故C不成立.
故选:A.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用函数的值的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握函数值的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法”;③反函数法;④换元法;⑤不等式法;⑥函数的单调性法.

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