题目内容
12．已知函数f（x）=x2-ax+a（a∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x1，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{an}的前n项和为Sn=f（n）．（1）求数列{an}的通项公式及$\sum_{i=1}^{n+2}$$\frac{1}{{a}_{i}{a}_{i+1}}$的值；
（2）设各项均不为零的数列{cn}中，所有满足cici+1的正整数i的个数称为这个数列{cn}的变号数，令 cn=1-$\frac{a}{{a}_{n}}$，n为正整数，求数列{cn}的变号数．
分析 （1）通过f（x）≤0的解集有且只有一个元素可知方程x2-ax+a=0中的△=a2-4a=0，进而可知Sn=n2-4n+4，利用an+1=Sn+1-Sn计算可知数列的通项公式，通过裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-5}$-$\frac{1}{2n-3}$）（n≥2），并项相加即得结论；
（2）通过（1）可知cn=$\left\{\begin{array}{l}{-3，}&{n=1}\\{1-\frac{4}{2n-5}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，通过当n≥2时解不等式cn•cn+1＜0可知n=2或n=4，当n=1时也有cn•cn+1＜0，进而可得结论．
解答 解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴x2-ax+a=0中的△=a2-4a=0，
∴a=0或a=4，
当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+∞）上递增，此时不满足条件②，
∴a=4，f（x）=x2-4x+4，
∴Sn=n2-4n+4，
∴an+1=Sn+1-Sn
=（n+1）2-4（n+1）+4-（x2-4x+4）
=2（n+1）-5，
又∵a1=1-4+4=1不满足上式，
∴an=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{2n-5，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-5）（2n-3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-5}$-$\frac{1}{2n-3}$）（n≥2），
∴$\sum_{i=1}^{n+2}{\frac{1}{{{a_i}{a_{i+1}}}}}=-1-1+\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=-2+\frac{n}{2n+1}$（n∈N•）；
（2）通过（1）可知cn=$\left\{\begin{array}{l}{-3，}&{n=1}\\{1-\frac{4}{2n-5}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
当n≥2时，令cn•cn+1＜0，即$\frac{2n-9}{2n-5}$•$\frac{2n-7}{2n-3}$＜0，
解得：$\frac{3}{2}$＜n＜$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{2}$＜n＜$\frac{9}{2}$，
∴n=2或n=4，
又∵c1=-3，c2=5，
∴当n=1时，也有cn•cn+1＜0，
综上可得数列{cn}的变号数为3．
点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
课堂全解字词句段篇章系列答案| A． | （-∞，1]∪[e，+∞） | B． | （-∞，0）∪[e，+∞） | C． | （-∞，e] | D． | [1，e] |
| A． | $\frac{{\sqrt{7}}}{4}$ | B． | $\frac{3}{5}$ | C． | $\frac{4}{5}$ | D． | ±$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$ |