Question

20．已知0＜b＜a＜c≤4，ab=2，则$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}+\frac{1}{c}$的最小值是$\frac{17}{4}$．

Answer 1

分析 由条件可得 a-$\frac{2}{a}$＞0，化简$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}+\frac{1}{c}$=（a-$\frac{2}{a}$）+（$\frac{4}{a-\frac{2}{a}}$）+$\frac{1}{c}$，使用基本不等式求出其最小值．

解答 解：∵已知0＜b＜a＜c≤4，ab=2，∴0＜b＜1，2＜a，a-$\frac{2}{a}$＞0．
则$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}+\frac{1}{c}$=$\frac{{a}^{2}{+（\frac{2}{a}）}^{2}-4+4}{a-\frac{2}{a}}$+$\frac{1}{c}$
=$\frac{{（a-\frac{2}{a}）}^{2}+4}{a-\frac{2}{a}}$+$\frac{1}{c}$=（a-$\frac{2}{a}$）+（$\frac{4}{a-\frac{2}{a}}$）+$\frac{1}{c}$
≥2$\sqrt{（a-\frac{2}{a}）•（\frac{4}{a-\frac{2}{a}}）}$+$\frac{1}{4}$=4+$\frac{1}{4}$=$\frac{17}{4}$，
当且仅当（a-$\frac{2}{a}$）=（$\frac{4}{a-\frac{2}{a}}$） 且c=$\frac{1}{4}$时，等号成立，
故答案为：$\frac{17}{4}$．

点评 本题考查基本不等式的应用，把要求的式子变形为（a-$\frac{2}{a}$）+（$\frac{4}{a-\frac{4}{a}}$）+$\frac{1}{c}$是解题的难点和关键．