Question

2．设T_n是数列{a_n}的前n项之积，满足T_n=1-a_n（n∈N^*）．
（1）求证：数列{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是等差数列并求{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=T${\;}_{{1}^{\;}}$²+T₂²+…+T_n²，求证：a_n+1-$\frac{1}{2}$＜S_n＜a_n+1-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$、化简整理可知$\frac{1}{1-{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=1，进而可知数列{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是以2为首项、1为公差的等差数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知${T_n}=1-{a_n}=\frac{1}{n+1}（n∈{N^*}）$，通过放缩、裂项可知${{T}_{n}}^{2}$=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＞$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$、${{T}_{n}}^{2}$=$\frac{4}{4（n+1）^{2}}$＜2（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），并项相加、整理即得结论．

解答 证明：（1）易知T₁=a₁=$\frac{1}{2}$，T_n≠0、a_n≠1，
∴a_n+1=$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$=$\frac{1-{a}_{n+1}}{{1-a}_{n}}$，
整理得：$\frac{{a}_{n+1}}{1-{a}_{n+1}}$=$\frac{1-（1-{a}_{n+1}）}{1{-a}_{n+1}}$=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，
即$\frac{1}{1-{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=1，
∵$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2，
∴数列{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是以2为首项、1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=2+n-1=n+1，
∴a_n=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
（2）由（1）可知${T_n}=1-{a_n}=\frac{1}{n+1}（n∈{N^*}）$，
一方面，${{T}_{n}}^{2}$=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＞$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
并项相加可知S_n＞$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n+1}{n+2}$-$\frac{1}{2}$=a_n+1-$\frac{1}{2}$，
另一方面，${{T}_{n}}^{2}$=$\frac{4}{4（n+1）^{2}}$＜$\frac{4}{（2n+1）（2n+3）}$=2（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
并项相加可知S_n＜2（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）＜$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n+1}{n+2}$-$\frac{1}{3}$=a_n+1-$\frac{1}{3}$，
综上所述，a_n+1-$\frac{1}{2}$＜S_n＜a_n+1-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．