题目内容

20．正四面体A-BCD的顶点都在一个球面上，E，F分别是AB，BC的中点，直线EF被球面所截得的线段长为$\sqrt{15}$，则该球的表面积为（　　）
A．21πB．18πC．12πD．9π

分析 将正四面体A-BCD扩充为正方体，设正方体的棱长为2a，则正四面体A-BCD的棱长为2$\sqrt{2}$a，外接球的半径为$\sqrt{3}$a，球心到EF的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，利用直线EF被球面所截得的线段长为$\sqrt{15}$，建立方程，求出外接球的半径，即可求出该球的表面积．

解答 解：将正四面体A-BCD扩充为正方体，设正方体的棱长为2a，则正四面体A-BCD的棱长为2$\sqrt{2}$a，外接球的半径为$\sqrt{3}$a，球心到EF的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∵直线EF被球面所截得的线段长为$\sqrt{15}$，
∴（$\sqrt{3}$a）2=（$\frac{\sqrt{15}}{2}$）2+$\frac{1}{2}$a2，
∴a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴外接球的半径为$\sqrt{3}$a=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴该球的表面积为4π×$（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}$=18π．
故选：B．

点评 本题考查求外接球的表面积，着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识，属于基础题．

练习册系列答案
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3．已知{an}{bn}是两个项数相同的等比数列，仿照表中的例子填写表格，从中你能得出什么结论？证明你的结论．
 anbnan•bn判断{an•bn}是否是等比数列
例3×（$\frac{2}{3}$）n -5×2n-1 -10×（$\frac{4}{3}$）n-1 是 
自选1    
自选2    
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那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确度为0.05）可以是（　　）
A．1.25B．1.375C．1.42D．1.5
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