Question

12．已知函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1．
（1）求f（x）的最大值及相应的x的值；
（2）若不等式f²（x）-2m•f（x）+m²-4＜0在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的最大值求得函数f（x）取得最大值．
（2）由题意可得m-2＜f（x）＜2+m恒成立，再根据x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求得 f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1∈[1，3]，可得$\left\{\begin{array}{l}{m-2＜1}\\{m+2＞3}\end{array}\right.$，由此求得m的范围．

解答 解：（1）对于函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，当2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，
即x=kπ+$\frac{5π}{12}$时，函数f（x）取得最大值为2+1=3．
（2）不等式f²（x）-2m•f（x）+m²-4＜0在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
即[f（x）-m]²＜4，即-2＜f（x）-m＜2，即 m-2＜f（x）＜2+m恒成立．
再根据x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，可得2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1∈[1，3]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-2＜1}\\{m+2＞3}\end{array}\right.$，求得1＜m＜3．

点评 本题主要考查正弦函数的最大值，函数的恒成立问题，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．