Question

2．已知正实数a，b，c，若a²+b²+4c²=1，则ab+2ac+3$\sqrt{2}$bc的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 a²+b²+4c²=（$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$a²）+（$\frac{1}{4}$b²+$\frac{3}{4}$b²）+（c²+3c²），调整，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：设a²+b²+4c²=（$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$a²）+（$\frac{1}{4}$b²+$\frac{3}{4}$b²）+（c²+3c²）
=（$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{4}$b²）+（$\frac{1}{2}$a²+c²）+（$\frac{3}{4}$b²+3c²）
≥$\frac{1}{\sqrt{2}}$ab+$\sqrt{2}ac$+3bc
∴ab+2ac+3$\sqrt{2}$bc≤$\sqrt{2}$，
当且仅当a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，b=2c=$\frac{\sqrt{10}}{5}$时，等号成立．
∴ab+2ac+3$\sqrt{2}$bc的最大值为$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查重要不等式的运用：求最值，正确变形是关键．．