题目内容

平行四边形中,,且,以BD为折线,把△ABD折起,,连接AC.

(1)求证:;
(2)求二面角B-AC-D的大小.
(1)证明见解析;(2)

试题分析:(1)要证线线垂直,一般先其中一条直线与过另一条直线的某个平面垂直,首先我们在图形中寻找垂直关系,折叠后的图形中,只有一个面面垂直,没有线线的关系,回到原平面图形中,已知条件是,且,应用余弦定理可求得,因此是等腰直角三角形,,因此,同样是垂直的两平面的交线,由面面垂直的性质可得平面,证线线垂直所需要的线面垂直出来了,结论得证;(2)求二面角,可以根据二面角的定义作二面角的平面角,首先寻找两个面中其中一个平面的垂线,由题意,取中点,则,从而可证平面,那么只要作,垂足为,则就是所要的平面角,当然本题也可用空间向量法求.
试题解析:(1)在中,,
易得.面面

4分

(2)法一:在四面体ABCD中,以D为原点,DB为x轴,DC为y轴,过D垂直于平面BDC的直线为z轴,建立如图空间直角坐标系.则D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,0,1).       6分
设平面ABC的法向量为,而
由得:
取                             8分
再设平面DAC的法向量为,而
由得:,取         10分
所以,所以二面角B-AC-D的大小是60°.    12分
法二:取BC的中点E,连DE,过DDFACF,连EF,则是二面角B-AC-D的平面角      8分
,
           12分
法三:补成正方体.
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