Question

8．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°，若BD=1，求三棱锥D-ABC的表面积．

Answer 1

分析 根据图形特征可得△ADB、△DBC、△ADC是全等的等腰直角三角形，△ABC是等边三角形，利用三角形面积公式可得三棱锥D-ABC的表面积．

解答 解：∵∠BDC=90°，∴DB⊥DC，
∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC，
∴DA⊥DB，DC⊥DA，
∵DB=DA=DC=1，∴AB=BC=CA=$\sqrt{2}$，
从而S_△ADB=S_△DBC=S_△ADC=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
所以三棱锥D-ABC的表面积为：$\frac{1}{2}×3+\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．

点评 解决平面图形翻折问题的关键是看准翻折后没有发生变化的位置关系，抓住翻折后仍然垂直的直线作为条件，从而解决问题．