题目内容
【题目】已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,4]上的最大值为9,最小值为1,记f(x)=g(|x|)。
(1)求实数a,b的值;
(2)若不等式f(2k)>1成立,求实数k的取值范围;
(3)定义在[p,q]上的函数(x),设p=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=q,x1,x2,…,xn-l将区间[p,q]任意划分成n个小区间,如果存在一个常数M>0,使得和式
恒成立,则称函数
(x)为在[p,q]上的有界变差函数。试判断函数f(x)是否为在[0,4]上的有界变差函数?若是,求M的最小值;若不是,请说明理由。
【答案】(1);(2)
;(3)10
【解析】试题分析:(1)由已知中在区间
的最大值为9,最小值为1,结合函数的单调性及最值,我们易构造出关于
,
的方程组,解得
,
的值;(2)由(1)参数
,
的值,代入可得函数解析式,根据二次函数的图象和性质,可将问题转化为
或
,解出不等式得到
的取值范围;(3)根据有界变差函数的定义,我们先将区间
进行划分,分成
,
两个区间进行分别判断,进而判断
是否恒成立,从而求出结论.
试题解析:(1),因为
,所以
在区间
上是增函数,故
解得
(2)由已知可得为偶函数,所以不等式
可化为
或
,解得
,即实数
的取值范围是
.
(3)函数为
上的有界变差函数。
因为函数在
上单调递减,在
上单调递增,
且对任意划分,
不妨设,
所以有,
,
所以
;
当时,
;
当时,
,
综上,存在常数使得
恒成立,所以
的最小值为10。
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 =
x+
;
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据第2题求出的回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?