Question

13．已知圆C：x²+y²=36和点P（m，2）．
（1）当m=6时，过P作圆C的切线，求切线方程和切点坐标；
（2）当m∈[-2，2]时，若过P的直线与圆C交于A，B，弦长AB的最小值记为I（m），求I（m）的最大值．

Answer 1

分析 （1）圆x²+y²=36的圆心为原点，半径为6，然后讨论，根据圆心到直线的距离等于半，6，建立关于k的方程，解之得k，进而得到直线的方程．最后综合可得答案．
（2）求出点O（0，0）到直线的距离的最大值，可得弦长AB的最小值记为I（m），即可求I（m）的最大值．

解答 解：（1）圆x²+y²=36的圆心为原点，半径为6．
①当过点（6，2）的直线垂直于x轴时，此时直线斜率不存在，方程是x=6，
因为圆心O（0，0）到直线的距离为d=6=r，所以直线x=6符合题意；
②当过点（6，2）的直线不垂直于x轴时，设直线方程为y-2=k（x-6）
即kx-y-6k+2=0
∵直线是圆x²+y²=36的切线
∴点O（0，0）到直线的距离为d=$\frac{|-6k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=6，解之得k=-$\frac{4}{3}$
此时直线方程为4x+3y-30=0，
∴切线方程为4x+3y-30=0或x=6．
（2）直线斜率不存在，方程是x=m，AB=2$\sqrt{36-{m}^{2}}$，
直线斜率存在，方程是y-2=k（x-m），即kx-y-mk+2=0
点O（0，0）到直线的距离为d=$\frac{|-mk+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
∴（m²-d²）k²-4mk+4-d²=0，
∴△=16m²-4（m²-d²）（4-d²）≥0，
∴d²≤m²+4，
∴AB≥2$\sqrt{32-{m}^{2}}$，
综上，弦长AB的最小值记为I（m）=2$\sqrt{32-{m}^{2}}$，I（m）的最大值为8$\sqrt{2}$．

点评 借助于求过圆外一个定点的圆的切线方程的问题，考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识点，属于中档题．