题目内容
5．
如图，点O是坐标原点，点F（p，0），其中p＞0，点E在直线l：x=-p上，点F到直线x+y=0的距离等于$\sqrt{2}$，动点p满足|$\overrightarrow{PE}$|=|$\overrightarrow{FP}$|，$\overrightarrow{EP}$=λ$\overrightarrow{OF}$（λ∈R，且λ≠0）．（1）求动点P的轨迹M的方程；
（2）设点D（10，0），直线m：y=x+b与轨迹M交于A，B两点，与线段OD相交于点K（K与D不重合），求△ABD面积的最大值及此时b的值．
分析 （1）先求出F，再利用抛物线的定义，可求动点P的轨迹M的方程；
（2）直线m：y=x+b与轨迹M联立可得y2-4y+4b=0，求出△ABD面积，利用基本不等式求出最大值，即可得出结论．
解答 解：（1）∵点F（p，0），到直线x+y=0的距离等于$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|p|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵p＞0，
∴p=2，
∴F（2，0），
∵动点P满足|$\overrightarrow{PE}$|=|$\overrightarrow{FP}$|，$\overrightarrow{EP}$=λ$\overrightarrow{OF}$，
∴动点P的轨迹M的方程为y2=4x；
（2）直线m：y=x+b与轨迹M联立可得y2-4y+4b=0，
∴y=2±2$\sqrt{1-b}$，
又K（-b，0），
∴△ABD面积S=$\frac{1}{2}•（10+b）•4\sqrt{1-b}$=2$\sqrt{\frac{1}{2}（10+b）（10+b）（2-2b）}$，
∵（10+b）（10+b）（2-2b）≤$（\frac{10+b+10+b+2-2b}{3}）^{3}$=$\frac{2{2}^{3}}{27}$，
∴S≤2$\sqrt{\frac{1}{2}•\frac{2{2}^{3}}{27}}$=$\frac{44}{9}\sqrt{33}$，
当且仅当b=-$\frac{8}{3}$时，△ABD面积的最大值为$\frac{44}{9}\sqrt{33}$．
点评 本题考查轨迹方程，考查抛物线的定义，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．
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15．某电子广告牌连续播出四个广告，假设每个广告所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计，以往播出100次所需的时间（t）的情况如下：
每次随机播出，若将频率视为概率．
（Ⅰ）求恰好在第6分钟后开始播出第3号广告的概率；
（Ⅱ）用X表示至第4分钟末已完整播出广告的次数，求x的分布列及数学期望．
| 类别 | 1号广告 | 2号广告 | 3号广告 | 4号广告 |
| 广告次数 | 20 | 30 | 40 | 10 |
| 时间t（分钟/人） | 2 | 3 | 4 | 6 |
（Ⅰ）求恰好在第6分钟后开始播出第3号广告的概率；
（Ⅱ）用X表示至第4分钟末已完整播出广告的次数，求x的分布列及数学期望．