Question

3．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的右焦点为F，右准线为l．点A（2$\sqrt{5}$，$\sqrt{3}$），P为双曲线上一动点，若3PA+$\sqrt{5}$PF最小，则点P的坐标为（$\frac{\sqrt{35}}{2}$，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 由题意可得离心率等于$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，设点P到右准线的距离等于|PM|，则 3|PA|+$\sqrt{5}$|PF|=3（|PA|+|PM|），故P、M、A三点共线时，|PA|+$\frac{\sqrt{5}}{3}$|PF|取得最小值，故点P的纵坐标为$\sqrt{3}$，把把y=$\sqrt{3}$代入双曲线求得正值x即为点P的横坐标．

解答 解：由题意可得双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的a=$\sqrt{5}$，b=2，c=3，
右焦点F（3，0），离心率等于$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
设点P到右准线的距离等于|PM|，
则由双曲线的定义可得 $\frac{|PF|}{|PM|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
故3|PA|+$\sqrt{5}$|PF|=3（|PA|+$\frac{\sqrt{5}}{3}$|PF|）=3（|PA|+|PM|），
当|PA|+$\frac{\sqrt{5}}{3}$|PF|取得最小值时，
P、M、A三点共线，故点P的纵坐标为$\sqrt{3}$，把y=$\sqrt{3}$代入双曲线方程，
求得正值x=$\frac{\sqrt{35}}{2}$，
故点P的坐标为（$\frac{\sqrt{35}}{2}$，$\sqrt{3}$），
故答案为：（$\frac{\sqrt{35}}{2}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查双曲线的定义、标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断P、M、A三点共线时，3PA+$\sqrt{5}$PF取得最小值，是解题的关键．