题目内容
4.设函数f(x)=|x+2|+|x-a|,x∈R.(I)当a=1时,求不等式f(x)≥5的解集;
(II)若对于?x∈R,f(x)≥a2恒成立,求a 的取值范围.
分析 (I)当a=1时,利用绝对值的意义求得不等式f(x)≥5的解集.
(II)利用绝对值三角不等式求得f(x)的最小值为|2+a|,结合题意可得|2+a|≥a2 恒成立,∴2+a≥a2 或 2+a≤-a2,由此求得a的取值范围.
解答 解:(I)当a=1时,求不等式f(x)≥5,即|x+2|+|x-1|≥5.
而由绝对值的意义可得,|x+2|+|x-1|表示数轴上的x对应点到-2、1对应点的距离之和,
而-3和2对应点到-2、1对应点的距离之和正好等于5,故不等式f(x)≥5的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).
(II)若对于?x∈R,f(x)≥a2恒成立,故f(x)=|x+2|+|x-a|≥|x+2-(x-a)|=|2+a|,
∴|2+a|≥a2 恒成立,∴2+a≥a2 或 2+a≤-a2,
求得-1≤a≤2,故a的取值范围为[-1,2].
点评 本题主要考查绝对值的意义、绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,体现了转化的数学思想,属于中档题.
练习册系列答案
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