题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的零点;
(2)令,在
时,求函数
的单调区间:
(3)在(2)条件下,存在实数,使得函数
有三个零点,求
取值范围.
【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)
【解析】
(1) 根据题意,对进行分类讨论,即可得到函数
的零点;
(2) 根据(1)中的结论与图像,即可得出的单调区间
(3)根据所给条件,结合分段函数的图像,将题意所满足条件转化为有解,即可求出
的范围。
(1) 由题意得,对进行分类讨论,
若 ,
当时,
;
当时,
;
若 ,
,如图所示,
当时,
,解得
;
当时,
或
;
当时,解得
当时,解得
;
当时,解得
;
若 ,
,如图所示,
当时,解得
;
当时,
或
;
当时,解得
当时,解得
;
当时,解得
;
(2) 由题意得,,即
根据(1)中的讨论,可得,
当时,
在
上单调递增;
当时,
在
和
上单调递增,在
上单调递减;
当,
在
和
上单调递增,在
上单调递减;
(3) 根据题意,,结合图像,若要满足题意,则
有解,即
又,所以
是单调递增的,所以
综上所述,。
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