题目内容
【题目】如图，三棱柱
中，
，
平面
.
（1）证明：
；
（2）若
，
，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析；（2）余弦值为
.
【解析】分析: (1)先证明
平面
,即证
.(2)先证明
,
,再建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角
的余弦值.
详解:（1）证明：∵
平面
，∴
.
∵
，
∴
，∴平面，∴.
（2）解：∵平面，∴
，
∴四边形为菱形，∴
.
又
，∴
与
均为正三角形.
取
的中点
，连接
，则.
由（1）知，则可建立如图所示的空间直角坐标系
.
设
，则
，
，
，
，
.
∴
，
，
.
设平面
的法向量为
，
则
，
∴
∴
取
，则
为平面的一个法向量.
又为平面的一个法向量，
∴
.
又二面角的平面角为钝角，所以其余弦值为
.
点睛:本题主要考查空间位置关系的证明和二面角的平面角的计算,主要考查学生的空间想象能力和计算能力.属于中档题.
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