题目内容
【题目】如图,在四棱锥中, 平面
平面
,
.
(1)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在点
,使得
平面
?若存在, 求
的值;若不存在, 说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在,
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由面面垂直的性质定理知AB⊥平面,根据线面垂直的性质定理可知
,再由线面垂直的判定定理可知
平面
;(Ⅱ)取
的中点
,连结
,以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,利用向量法可求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(Ⅲ)假设存在,根据A,P,M三点共线,设
,根据BM∥平面PCD,即
(
为平面PCD的法向量),求出
的值,从而求出
的值.
试题解析:(Ⅰ)因为平面平面
,
,
所以平面
.
所以.
又因为,
所以平面
.
(Ⅱ)取的中点
,连结
.
因为,所以
.
又因为平面
,平面
平面
,
所以平面
.
因为平面
,所以
.
因为,所以
.
如图建立空间直角坐标系.由题意得,
.
设平面的法向量为
,则
即
令,则
.
所以.
又,所以
.
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
(Ⅲ)设是棱
上一点,则存在
使得
.
因此点.
因为平面
,所以
平面
当且仅当
,
即,解得
.
所以在棱上存在点
使得
平面
,此时
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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【题目】某城镇社区为了丰富辖区内广大居民的业余文化生活,创建了社区“文化丹青”大型活动场所,配备了各种文化娱乐活动所需要的设施,让广大居民健康生活、积极向上,社区最近四年内在“文化丹青”上的投资金额统计数据如表: (为了便于计算,把2015年简记为5,其余以此类推)
年份 | 5 | 6 | 7 | 8 |
投资金额 | 15 | 17 | 21 | 27 |
(Ⅰ)利用所给数据,求出投资金额与年份
之间的回归直线方程
;
(Ⅱ) 预测该社区在2019年在“文化丹青”上的投资金额.
附:对于一组数据, 其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.