题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,平面
,
,
,
,
.
(1)求证:平面
;
(2)若为
中点,
为线段
上一点,
平面
,求
的值;
(3)求二面角的的大小;
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【解析】
(1)先证明平面
,再
平面
.(2)先根据
平面
证明
,再利用相似三角形求得
.(3)建立空间直角坐标系利用向量法求得二面角
的大小为
.
(1)证明:如图1,因为平面平面
,
平面平面
,
平面
,
,所以
平面
.
因为平面
,
所以平面平面
.
(2)如图2,取中点
,连接
,因为
平面
,
平面
,
平面平面
,所以
.
所以.
因为,
,
所以.
所以.
所以.所以
=
.
因为为
的中点,
所以.
(3)连接,由(1)知
平面
,
平面
,
平面
所以,
因为,点
为
中点,所以
.
作,所以
.
如图3建立空间坐标坐标系.
因为
所以,
因为,
,
,
所以平面
.平面
的法向量
.
设平面的法向量
,则有
即
令,则
,
,即
.
.
由题知二面角为锐角,
所以二面角的大小为
.
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