题目内容
【题目】已知动圆过定点
且在
轴上截得的弦长为4。
(1)求动圆的圆心
的轨迹
的方程;
(2)过点的动直线与曲线
交于
两点,点
在曲线
上,使得
的重心
在
轴上,直线
交
轴于点
,且点
在点
的右侧,记
的面积为
的面积为
,求
的最小值。
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)由曲线与方程的关系可得:,化简可得轨迹
的方程;
(2)分别设,
,
,
, 联立直线与抛物线方程,求得各点坐标,再结合三角形面积公式及均值不等式求
的最小值即可.
解:(1)设圆心坐标为,
由已知有:,
化简得:,
轨迹的方程为
;
(2)设,
,
,
,
令,则
由于直线过点,则直线
的方程为
,
代入得:
,
即,即
, 即
,
又由于,
,
且的重心
在
轴上,
则 ,
则=
,则
则=
,
所以,
所以直线的方程为
,
令得:
,即
,
由于点在点
的右侧,
则,即
,
则=
=
=2-
,
令,
则 =
=
=
,
当且仅当,即
时取等号,
故的最小值为
.
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