题目内容
【题目】已知函数.
(1)若恒成立,求实数
的最大值
;
(2)在(1)成立的条件下,正实数,
满足
,证明:
.
【答案】(1)2;(2)证明见解析.
【解析】
(1)由题意可得,则原问题等价于
,据此可得实数
的最大值
.
(2)证明:法一:由题意结合(1)的结论可知,结合均值不等式的结论有
,据此由综合法即可证得
.
法二:利用分析法,原问题等价于,进一步,只需证明
,分解因式后只需证
,据此即可证得题中的结论.
(1)由已知可得,
所以,
所以只需,解得
,
∴,所以实数
的最大值
.
(2)证明:法一:综合法
∵,
∴,
∴,当且仅当
时取等号,①
又∵,∴
,
∴,当且仅当
时取等号,②
由①②得,∴,所以
.
法二:分析法
因为,
,
所以要证,只需证
,
即证,
∵,所以只要证
,
即证,
即证,因为
,所以只需证
,
因为,所以
成立,
所以.
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