题目内容

【题目】已知函数.

(1)若恒成立,求实数的最大值

(2)在(1)成立的条件下,正实数满足,证明:.

【答案】(1)2;(2)证明见解析.

【解析】

(1)由题意可得则原问题等价于据此可得实数的最大值.

(2)证明:法一由题意结合(1)的结论可知结合均值不等式的结论有据此由综合法即可证得.

法二:利用分析法原问题等价于进一步,只需证明分解因式后只需证据此即可证得题中的结论.

(1)由已知可得

所以

所以只需,解得

,所以实数的最大值.

(2)证明:法一:综合法

,当且仅当时取等号,①

又∵

,当且仅当时取等号,②

由①②得,∴,所以.

法二:分析法

因为

所以要证只需证

即证

,所以只要证

即证

即证,因为,所以只需证

因为,所以成立,

所以.

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